Mathematik » Umwandlung einer Exponentialfunktion zu einer E-Funktion

Hi ich habe gerade herausgefunden wie ich eine Exponentialfunktion in eine E- Funktion umwandeln, und somit auch die Ableitung eine beliebigen Exponentialfunktion erstellen kann:

Wenn f(x) = a^x kann ich a durch e ersetzen und zwar folgender maßen:

Mit welcher Zahl muss ich e potenzieren, damit e = a ist?
Dies kann ich durch einen einfachen logerithmus errechnen. Also wenn ich habe e^x = a dann ist x = log zur basis e von a. Da alle log zur Basis e auch ln geschrieben werden, folgt daraus a = e^ln(a).
ln(a) Drückt jetzt die Zahl aus mit der ich e potenzieren muss um a zu erhalten.
Jetzt kann ich a durch e ersetzen und schreiben f(x) = a^x = (e^ln(a))^x.
Wenn ich die Potenzgesetze anwende gillt: f(x) = e^ln(a)x
Jetzt habe ich die Funktion F8x) = a^x durch eine E Funktion ausgedrückt.

Die kann ich jetzt einfach durch die Kettenregel ableiten:

f(x) = e^ln(a)x
f'(x) = ln(a) e^ln(a)x
Wir erinnern uns das e^ln(a)x = a^x ist
Also gillt:
f(x) = a^x
f'(x) = ln(a) a^x
Vielleicht konnte ich euch damit weiterhelfen, da wir jetzt besser verstehen wir wir auf die Ableitung einer beliebige Exponentialfunktion kommen.

Hey Paul,

BRAVO !!!! Man kann grundsätzlich immer eine Basistransformation
durchführen und mit e substituieren. Würde mich sehr
interessieren, wer aus dem Kurs hier noch folgen kann.

Für alle:

f'(x) = ln(a) a^x als Ableitung der allgemeinen Exponentialfunktion
ist für den GRUNDKURS nicht relevant und kommt auch im Abitur 2014
nicht vor. Für euch ist nur die Kurvebdiskussion zur Basis e relevant.

Euer Mathe-Diktator
Tommes

DANKE! Jetzt habe ich es endlich verstanden! Stand nirgends im Internet :)